Арифметика


Арифме́тика (грец. ἀριϑμητιϰή (τέχνη) ― мистецтво лічби, вчення про числа, від грец. ἀριϑμός — число) ― розділ математики, який вивчає числа, їхні властивості й арифметичні дії над ними. Вона є однією з основних математичних наук і базисом для інших розділів математики. Традиційно словом арифметика називають також виконання операцій над різними математичними об’єктами, як от: «арифметика квадратичних форм», «арифметика матриць».

Історична довідка

Історично арифметику започатковано вивченням натуральних чисел й арифметичних дій над ними, що пов’язано з практичними потребами людства. Тобто розвиток арифметики розпочався разом із формуванням людського суспільства. Минуло багато століть, перш ніж люди усвідомили, що три камені й три людини об’єднано спільним поняттям ― «три». З плином часу люди навчилися абстрагуватися від форми і сутності предметів і почали працювати із числами безвідносно до їхнього походження.

Для запису результатів підрахунку використовували зарубки на дерев’яних предметах чи кістках, вузли на мотузках ― штучні еталони лічби. Променеву кістку молодого вовка з 55 зарубками знайдено 1937 в Чехії. Вік знахідки близько п’яти тисяч років (за деякими даними можливо й більше), тривалий час її вважали найдавнішим відомим записом числа. Пізніше в Центральній Африці біля озера Едвард знайдено кістку із зарубками, вік якої близько 30 тисяч років.

Використовували також природні еталони лічби, наприклад, кількість рук або пальців на них. Пізніше численні еталони замінено одним найзручнішим, для багатьох народів ним стали пальці рук.

Наступним кроком була поява загального поняття числа. Під час іменування чисел використовували або нерозкладні (вузлові) найменування, наприклад, один, або складені з вузлових найменувань ― алгоритмічні (див. Алгоритм), наприклад, двадцять один.

Перші документальні відомості про арифметичні знання датовано 3–2 тисячоліттям до н. е. Вони дійшли до нас з Стародавнього Єгипту. Наприклад, єгипетський папірус Рінда, названий на ім’я його власника О. Г. Рінда (1833–1863; Велика Британія) належить до 20 ст. до н. е.

Папірус Рінда

Більше відомостей про єгипетську математику почерпнуто з датованого приблизно 18–17 ст. до н. е папірусу єгипетського переписувача Ахмеса (другий перехідний період і початок 18 династії). Цей папірус складено як навчальний посібник, він містив задачі з розв’язками, допоміжні таблиці й правила дій над цілими числами й дробами, арифметичні прогресії й геометричні прогресії, а також рівняння.

Єгиптяни користувалися десятковою системою числення. Ієрогліфічна (див. Ієрогліф) нумерація була адитивною зі спеціальними знаками для [math]1, 10, 100[/math] тощо до десяти мільйонів, водночас у ієратичному письмі (спрощена, скорописна форма єгипетських ієрогліфів) створено знаки для чисел від одного до дев’яти, для десятків, сотень і тисяч, а також спеціальні знаки для аліквотних дробів (дробів вигляду [math]\frac{{1}}{{n}}[/math] , тобто часток одиниці). Усі інші дроби розглядали як суму аліквотних.

Єгиптяни використовували такі арифметичні дії, як додавання, подвоєння і доповнення дробу до одиниці. Будь-яке множення на ціле число подавали як багаторазове повторення операції подвоєння, що приводило до громіздких обчислень.

У Вавилоні вперше створено послідовну позиційну систему числення. У вавилонські клинописних (див. Клинопис) математичних текстах (яких відомо близько 300) використано шістдесяткову систему числення, характерну також для шумерів. Це були навчальні посібники, які містили таблиці множення для чисел від [math]1[/math] до [math]59[/math], а також таблиці обернених чисел, таблиці квадратів і кубів натуральних чисел, таблиці розрахунку відсотків, дроби з основою [math]60[/math].

Перші п’ятдесят дев’ять чисел мали свій запис із комбінації одиниць і десятків. Аналогічно ліворуч записували числа з наступного розряду (кратні шістдесяти). Пізніше таке розташування поширено на будь-які числа вигляду [math]60^n[/math]. Окрім того, вавилоняни ввели символ, що позначає нуль у записі числа.

Великий внесок у розвиток арифметики зроблено математиками Стародавньої Греції, зокрема піфагорійцями, які намагалися за допомогою чисел описати всі закономірності навколишнього світу. На самому початку греки користувались аттичною нумерацією, яка застосовувала знаки для чисел [math]1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000[/math]. З часом аттичну нумерацію змінила компактна іонічна. Іонічна нумерація використовувала [math]24[/math] букви грецької абетки й три букви, що вийшли з обігу, для позначення одиниць від [math]1[/math] до [math]9[/math], десятків від [math]10[/math] до [math]90[/math] й сотень від [math]100[/math] до [math]900[/math] (букви, що вийшли з обігу, використовували для позначення чисел [math]6, 90, 900[/math]). Щоби відрізнити числа від букв, над ними ставили риску. Система була близька до позиційної, але нею ще не була. Більшість інформації про математику тих часів почерпнуто з «Початків» Евкліда Александрійського.

У Середні віки арифметика розвивалась передовсім в ісламських (див. Іслам) країнах, Індії та Китаї, і тільки згодом прийшла до Західної Європи.

З Індії походить десяткова система числення, сучасні цифри, нуль; дроби десяткові. Від’ємні числа вперше використано в Стародавньому Китаї та Індії, де їх розглядали як аналог «боргу». Брамагупта (598–668, Індія) уже розглядав їх нарівні з додатними.

Від 16 ст. все більше уваги приділяли ірраціональним числам і від’ємним числам. У 1637 світ побачила «Геометрія» Р. Декарта, у якій встановлено зв’язок між арифметикою і геометрією, арифметичні операції виконують аналогічно пошуку відрізка з потрібним відношенням до вже заданих. І. Ньютон у своїх лекціях поділяв числа на три види: цілі (вимірювані одиницею), дробові (частки одиниці) й ірраціональні (несумірні з одиницею). З 1710 таке визначення числа увійшло до всіх підручників. На початку 17 ст. Дж. Непер винайшов логарифми. Усе це розширило область застосування арифметики.

У 1630-х П. Ферма виокремив теорію чисел, сформулював низку тверджень без доведення, зокрема, теореми Ферма.

Теоретичні обґрунтування арифметики пов’язані передусім з іменами Г. Лейбніца, Г. Грассманна й Дж. Пеано (1858–1932; Італія). У середині 19 ст. Г. Грассманн вибрав систему основних аксіом, що визначають додавання і віднімання. Система дала змогу вивести решту положень арифметики як логічний висновок з аксіом. На основі аксіом доведено комутативний, асоціативний і дистрибутивний закони додавання і множення. Також виведено поняття дробу як пари цілих чисел з окресленими законами порівняння і дій визначенням натурального числа й аксіомами Дж. Пеано, сформульованими 1889. Це дало поштовх появі строгих визначень чисел раціональних, чисел дійсних, від’ємних чисел і чисел комплексних.

Характеристика

Предметом арифметики є числові множини, властивості чисел й арифметичні дії. До арифметики також відносять питання, пов’язані з технікою обчислень, походженням і розвитком поняття числа, системами числення і вимірюваннями.

Арифметика вивчає насамперед натуральні й цілі числа. На їхній основі за допомогою аксіоматичного методу будують інші числові множини, такі як раціональні, дійсні й комплексні числа. Арифметику прийнято поділяти на елементарну (або практичну) і вищу (або теоретичну). До практичної відносять власне математичні розрахунки, вимірювання довжин, площ (у математиці), часу й прикладні обчислення, зокрема, порівняння (див. Порівняння метод) чисел, пропорції (математика), відсотки тощо, у той час як логічний (див. Логіка математична) аналіз поняття числа, його властивостей, побудову системи аксіом для числових множин відносять до теоретичної арифметики. Властивості цілих чисел, ділення їх на частини, побудова неперервних дробів є складниками теорії чисел. Арифметика також тісно пов’язана з алгеброю.


Література

  1. Энциклопедия элементарной математики : в 5 кн. / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. Москва : Гостехтеоретиздат, 1951–1966.
  2. Депман И. Я. История арифметики. Москва : Просвещение, 1965. 415 с.
  3. История математики : в 3 т. / Под ред. А. П. Юшкевича. Москва : Наука, 1970. Т. 1–2.
  4. Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова / Пер. с англ. Москва : Центрполиграф, 2011. 598 с.
  5. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. Москва : ЛКИ, 2016. 208 с.
  6. Lockhart P. Arithmetic. Cambridge : The Belknap Press, 2017. 240 p.

Автор_ВУЕ

Т. С. Клецька


Покликання на цю статтю

Покликання на цю статтю: Клецька Т. С. Арифметика // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Арифметика (дата звернення: 25.09.2021).


Оприлюднено

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено:
02.08.2021


Офіційний телеграм-канал ВУЕОфіційний телеграм-канал ВУЕ