ББГКІ ієрархія рівнянь

Ювілейна монета, випущена Національним банком України до 100-річчя від дня народження Боголюбова (2009), із зображенням ББГКІ ієрархії рівнянь.

Боголю́бова — Бо́рна — Грі́на — Кі́рквуда — Іво́на ієра́рхія рівня́нь, ББГКІ ієрархія рівнянь — послідовність еволюційних рівнянь, якими описують динаміку стану систем з багатьох частинок.

Історична довідка

Названо на честь доробку в галузі статистичної механіки плеяди учених з різних країн у середині 1940-х: математика й фізика-теоретика М. Боголюбова (старшого), фізиків М. Борна, Г. С. Гріна (1920; Велика Британія — 1999; Австралія), хіміка й фізика Дж. Г. Кірквуда (1907‒1959; США) та фізика Ж. Івона (1903‒1979; Франція). Серія статей згаданих учених, де була вперше виписана й застосована ієрархія еволюційних рівнянь для класичних систем з багатьох частинок, опублікована переважно упродовж 1946.

Математичну теорію ББГКІ ієрархії рівнянь розвинуто в 1990-х. Натепер ББГКІ ієрархії еволюційних рівнянь для станів і спостережуваних квантових систем з багатьох частинок є фундаментальними рівняннями (законами фізичних теорій), якими описують природу речей.

Характеристика

Стан класичних систем з багатьох частинок у момент часу [math]t\in\mathbb{R}[/math] описує послідовність [math]F(t)=(1,F_1(t,x_1),\ldots,[/math] [math]F_s(t,x_1,\ldots,x_s),\ldots)[/math] редукованих ([math]s[/math]-частинкових) функцій розподілу [math]F_s(t)[/math] значень координат та імпульсів [math]x_i\equiv(q_i,p_i)\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3,\,i=1,\ldots,s[/math] групи з [math]s[/math] частинок. Для класичних систем частинок з парним потенціалом взаємодії ББГКІ ієрархія рівнянь має вигляд:

[math]\frac{d}{dt}F(t)=\mathcal{L}^\ast F(t)+\big[\mathfrak{a},\mathcal{L}^\ast\big]F(t)[/math],

де символом [math]\big[ \cdot , \cdot \big][/math] позначено комутатор оператора Ліувілля [math]\mathcal{L}^\ast[/math] та аналога оператора знищення квантової теорії поля (див. Поля квантова теорія) [math](\mathfrak{a}f)_{s}(x_1,\ldots,x_s)\doteq \int\limits_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3}f_{s+1}(x_1,\ldots,x_s,x_{s+1})dx_{s+1}.[/math] Оператор Ліувілля має таку покомпонентну структуру: [math]\mathcal{L}^*_{s}=\sum\limits_{j=1}^{s}\mathcal{L}^{\ast}(j)+ \sum\limits_{j_{1}\lt j_{2}=1}^{s}\mathcal{L}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2}).[/math] У просторі послідовностей інтегрованих функцій визначається такими операторами: генератором рівняння Ліувілля [math]s[/math] частинок, що не взаємодіють:

[math]\sum\limits_{j=1}^{s}\mathcal{L}^{\ast}(j)f_{s}\doteq -\sum\limits_{j=1}^{s}\langle p_j,\frac{\partial}{\partial q_j}\rangle f_{s}[/math],

де символом [math]\langle \cdot , \cdot \rangle[/math] позначено скалярний добуток векторів, та оператором

[math]\sum\limits_{j_{1}\lt j_{2}=1}^{s}\mathcal{L}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2})f_{s}\doteq[/math] [math]\sum\limits_{j_{1}\lt j_{2}=1}^{s}\langle \frac{\partial}{\partial q_{j_{1}}}\Phi(q_{j_{1}}-q_{j_{2}}), (\frac{\partial}{\partial p_{j_{1}}}-\frac{\partial}{\partial p_{j_{2}}})\rangle f_{s}[/math],

який визначається парним потенціалом [math]\Phi[/math] взаємодії частинок. Отже, покомпонентна друга частина генератора ієрархії рівнянь ББГКІ має такий вигляд:

[math](\big[\mathfrak{a},\mathcal{L}^*\big]f)_{s}(x_1,\ldots,x_s)=[/math] [math]\sum\limits_{i=1}^s\,\int\limits_{\mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}^{3}} dx_{s+1}\, \mathcal{L}^*_{\mathrm{int}}(i,s+1)f_{s+1}(x_1,\ldots,x_{s+1})[/math].

Таким чином, коефіцієнти генератора ієрархії еволюційних рівнянь ББГКІ визначаються Гамільтона функцією, яка характеризує системи з багатьох частинок, та Пуассона дужками.

Стан квантових систем з багатьох частинок описує послідовність [math]F(t)=(1,F_1(t),\ldots,F_n(t),\ldots)[/math] редукованих ([math]n[/math]-частинкових) самоспряжених операторів густини (статистичних операторів), які визначені на відповідних [math]n[/math]-частинкових гільбертових просторах. Відповідно, ББГКІ ієрархія рівнянь для квантових систем має вигляд:

[math]\frac{d}{dt}F(t)=\mathcal{N}^\ast F(t)+\big[\mathfrak{a},\mathcal{N}^\ast\big]F(t)[/math],

де в просторі послідовностей ядерних операторів визначено аналог оператора знищення квантової теорії поля [math](\mathfrak{a}f)_{n}\doteq\mathrm{Tr}_{n+1}f_{n+1}[/math], а символом [math]\mathrm{Tr}_{n+1}[/math] позначено частинний слід оператора. Оператор фон Неймана [math]\mathcal{N}^\ast[/math] систем частинок з парним потенціалом взаємодії має таку покомпонентну структуру: [math]\mathcal{N}^{\ast}_n=\sum\limits_{j=1}^{n}\mathcal{N}^{\ast}(j)+ \sum\limits_{j_{1}\lt j_{2}=1}^{n}\mathcal{N}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2})[/math], де оператор [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\mathcal{N}^{\ast}(j)[/math] є генератором еволюційного рівняння фон Неймана [math]n[/math] частинок, що не взаємодіють, оператор [math]\mathcal{N}^{\ast}_{\mathrm{int}}[/math] визначається оператором [math]\Phi[/math] парного потенціалу взаємодії:

[math]\mathcal{N}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2})f_n\doteq -i\,(\Phi(j_{1},j_{2})f_n-f_n\Phi(j_{1},j_{2}))[/math],

та використана система одиниць, де [math]h={2\pi\hbar}=1[/math] — Планка стала, [math]m =1[/math] — маса частинки. Отже, покомпонентна друга частина генератора ієрархії рівнянь ББГКІ квантових систем має такий вигляд:

[math](\big[\mathfrak{a},\mathcal{N}^\ast\big]f)_{n}=[/math] [math]\sum\limits_{i=1}^n\, \mathrm{Tr}_{n+1}\,\mathcal{N}^\ast_{\mathrm{int}}(i,n+1)f_{n+1}[/math].

В аналогічний спосіб ієрархію рівнянь ББГКІ формулюють для квантових систем багатьох фермі- (див. Ферміон) та бозе-частинок.

Для опису кореляцій станів систем з багатьох частинок використовують ієрархії нелінійних еволюційних рівнянь для кумулянтів редукованих ([math]s[/math]-частинкових) функцій розподілу та редукованих ([math]s[/math]-частинкових) операторів густини.

Еволюція систем багатьох частинок в еквівалентний спосіб описується як в термінах станів, так і спостережуваних, які задовольняють ієрархіям еволюційних рівнянь, двоїстим до ієрархій рівнянь ББГКІ. Ієрархія еволюційних рівнянь для послідовності [math]B(t)=(B_0,B_1(t,x_1),\ldots,[/math] [math]B_s(t,x_1,\ldots,x_s),\ldots)[/math] редукованих ([math]s[/math]-частинкових) спостережуваних [math]B_s(t)[/math], до якої ієрархія рівнянь ББГКІ є двоїстою (дуальною) в сенсі функціоналу середніх значень спостережуваних, визначається такою послідовністю рекурсивних еволюційних рівнянь:

[math]\frac{d}{dt}B(t)=\mathcal{L}B(t)+\big[\mathcal{L},\mathfrak{a}^+\big]B(t)[/math],

де символом [math]\big[ \cdot , \cdot \big][/math] позначено комутатор оператора Ліувілля [math]\mathcal{L}[/math] та аналога оператора народження квантової теорії поля [math](\mathfrak{a}^{+}b)_{s}(x_1,\ldots,x_s) \doteq\sum\limits_{j=1}^s\,b_{s-1}((x_{1},\ldots,x_{s})\setminus (x_j)).[/math] Оператор [math]\mathcal{L}^{\ast}[/math], який визначено вище, є спряженим в сенсі функціоналу середніх значень спостережуваних до оператора Ліувілля [math]\mathcal{L}[/math], визначеного на послідовностях неперервних функцій, а саме: [math]\mathcal{L}=-\mathcal{L}^{\ast}[/math]. Отже, покомпонентна друга частина генератора ієрархії еволюційних рівнянь для редукованих спостережуваних має такий вигляд:

[math](\big[\mathcal{L},\mathfrak{a}^+\big]b)_{s}(x_1,\ldots,x_s)=[/math] [math]\sum\limits_{j_1\neq j_{2}=1}^s\mathcal{L}_{\mathrm{int}}(j_1,j_{2})b_{s-1}((x_1,\ldots,x_s)\setminus x_{j_1})[/math].

Аналогічно за структурою визначається послідовність рекурсивних еволюційних рівнянь для редукованих операторів спостережуваних квантових систем з багатьох частинок.

Для систем скінченого числа класичних частинок ББГКІ ієрархія рівнянь еквівалентна рівнянням Ліувілля, а для систем скінченого числа квантових частинок — рівнянням фон Неймана (квантовим рівнянням Ліувілля). Стаціонарні розв’язки ББГКІ ієрархії рівнянь для станів описують рівноважні стани систем з багатьох частинок. У випадку ієрархій еволюційних рівнянь для спостережуваних систем скінченого числа частинок такі рекурсивні еволюційні рівняння еквівалентні, відповідно, рівнянням Ліувілля для спостережуваних класичних систем та рівнянням Гайзенберга для квантових систем. Асимптотичні властивості ієрархій еволюційних рівнянь у скейлінгових (маштабних) границях описують кінетичними рівняннями, наприклад, Больцмана рівнянням, та рівняннями суцільного середовища, наприклад, Ейлера рівняннями або Нав'є – Стокса рівняннями.

Додатково

ББГКІ ієрархія рівнянь зображена на ювілейній монеті номіналом 2 грн, яка була випущена 2009 Національним банком України на честь 100-річчя від дня народження М. М. Боголюбова (старшого).

Література

Yvon J. La théorie statistique des fluides et l'équation d'état. Paris : Hermann, 1935. 48 p.
Born M., Green H. A General Kinetic Theory of Liquids. The Molecular Distribution Functions // Proceedings of the Royal Society. A Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1946. Vol. 188. Is. 1012. P. 10‒18.
Kirkwood J. G. The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory // The Journal of Chemical Physics. 1946. Vol.14 (3). P. 180–201.
Боголюбов М. М. Лекціï з квантовоï статистики. Питання статистичноï механіки квантових систем. Київ : Радянська школа, 1949. 228 с.
Боголюбов Н. Н. Избранные труды : в 3 т. Киев : Наукова думка, 1969–1971.
Cercignani C., Gerasimenko V., Petrina D. Many-Particle Dynamics and Kinetic Equations. 3rd ed. Cham : Springer, 2012. 256 p.
Gerasimenko V. I. Hierarchies of Quantum Evolution Equations and Dynamics of Many-Particle Correlations // Statistical Mechanics and Random Walks: Principles, Processes and Applications. New York : Nova Science Publishers, 2012. P. 233‒288.
Храмов Ю. О. Історична фізика України в світовому та суспільно-політичному контекстах. Київ : Фенікс, 2020. 490 с.

Автор ВУЕ

В. І. Герасименко

Покликання на цю статтю: Герасименко В. І. ББГКІ ієрархія рівнянь // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/ББГКІ ієрархія рівнянь (дата звернення: 10.10.2026).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 20.08.2025