Больцмана рівняння

Бо́льцмана рівня́ння — математичний вираз, який описує еволюцію стану типової частинки нерівноважної статистичної системи.

Нелінійне кінетичне рівняння нерівноважної статистичної механіки для систем багатьох класичних частинок із зіткненнями у 1872 сформулював Л. Больцман з евристичних міркувань (див. Евристика).

Характеристика

Рівняння Больцмана описує еволюцію густини функції розподілу ймовірності стану типової частинки системи багатьох точкових частинок у фазовому просторі. Для системи частинок визначається [math]f(t,q,p)[/math] — одночастинкова функція розподілу ймовірності координати та імпульсу [math](q,p)[/math] така, що вираз [math]f(t,q,p)\,dq\,dp[/math] визначає ймовірність знаходження в момент часу [math]t \geq 0[/math] частинки в нескінченно малих об’ємах [math]dq[/math] та [math]dp[/math] в околі точки з координатою [math]q[/math] та імпульсом [math]p[/math]. Кінетичне рівняння Больцмана при [math]t \geq 0[/math] для частинок одиничної маси має вигляд:

[math]\frac{\partial}{\partial t} f(t,q,p) = - \langle p,\frac{\partial}{\partial q} \rangle f(t,q,p)\:+[/math] [math] \int_{\mathbb{S}_+^2}\int_{\mathbb{R}^3}d\tilde{p}\,d\eta \,\langle\eta,p-\tilde{p}\rangle\bigr(f(t,q,p^*)f(t,q,\tilde{p}^*)-f(t,q,p)f(t,q,\tilde{p})\bigr)[/math],

де через символ [math]\langle\cdot,\cdot\rangle[/math] позначено скалярний добуток, [math]\mathbb{S}_+^2 = \{\eta\in \mathbb{R}^3 |\eta =1,\langle\eta,p-\tilde{p}\rangle \geq 0 \}[/math] та [math]p^*,\ \tilde{p}^*[/math] — імпульси частинок до зіткнення. Перший доданок у правій частині рівняння описує вільний рух частинки за інерцією, другий доданок називається інтегралом зіткнень й описує самовзаємодію частинки внаслідок пружного зіткнення.

Строге виведення рівняння Больцмана полягає в обґрунтуванні скейлінгової асимптотики Больцмана — Греда щодо розв’язку Коші задачі для ієрархії рівнянь Боголюбова — Борна — Гріна — Кірквуда — Івона [автори —М. Боголюбов, М. Борн, Г. Грін (1920; Велика Британія — 1999; Австралія), Дж. Кірквуд (1907–1959; США), Ж. Івон (1903–1979; Франція)] системи багатьох частинок із зіткненнями у випадку початкових станів, які задовольняють умову хаосу.

Застосування

Рівняння Больцмана та його узагальнення знайшли широке застосування у дослідженні складних систем, зокрема, з метою обґрунтування рівнянь гідродинаміки або опису незворотних процесів у газах і плазмі. Кінетичне рівняння Больцмана застосовують до розв’язання проблем сучасної математичної біології, актуарної математики та в соціальних науках. Основна ідея використання таких рівнянь для моделювання складних систем обумовлена наявністю великої кількості взаємодіючих складових (частинок, клітин, сутностей чи осіб), що визначає їхні типові колективні властивості.

Література

Boltzmann L. E. Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen // Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften. 1872. № 66. P. 275–370.
Cercignani C. The Boltzmann Equation and Its Applications. New York : Springer, 1988. 455 p.
Cercignani C., Gerasimenko V., Petrina D. Many-Particle Dynamics and Kinetic Equations. 3rd ed. Dordrecht : Springer, 2012. 255 p.
Emamirad H. Scattering Theory for Transport Phenomena. Singapore : Springer, 2021. 179 p.

Автор ВУЕ

І. В. Гап'як

Покликання на цю статтю: Гап'як І. В. Больцмана рівняння // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Больцмана рівняння (дата звернення: 10.10.2026).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 19.07.2025