Біноміальний ряд

Біноміа́льний ряд — вираз, який є узагальненням формули бінома Ньютона на [math](1+x)^n[/math] на випадок дробових і від’ємних показників [math]n[/math].

Це нескінчений числовий ряд, отриманий шляхом розкладу степеневої функції [math](1+x)^n[/math] у ряд Маклорена:

[math](1\pm x)^n = 1 \pm nx +\frac{{n (n-1)}}{{2!}}x^2 + \ldots + (\pm 1)^m \frac{{n (n-1)\ldots (n-m+1)}}{{m!}}x^m + \ldots,[/math]

при [math]|x|≤1; n\gt 0.[/math]


Приклади представлення функції [math](1\pm x)^n[/math] біноміальним рядом при деяких значеннях [math]n [/math]:

[math]\frac{{1}}{{1+x}} = 1-x+x^2 -x^3 +\ldots + (-1)^n x^n + \ldots,\; \;x ∈ (-1;1),\; \; n=-1;[/math]

[math]\frac{{1}}{{1-x}} = 1+x+x^2 +x^3 +\ldots + x^n + \ldots,\; \;x ∈ (-1;1),\; \; n=-1;[/math]

[math]\sqrt{1+x} = 1+0,5x -0,125x^2 +\ldots + (\pm 1)^n\frac{{0,5(0,5-1)\ldots (0,5-n+1)}}{{n!}}x^n +\ldots,\; \;x ∈ (-1;1),\; \; n=0,5;[/math]

Якщо показник степеню [math]n[/math] стає натуральним числом, то біноміальний ряд перетворюється у біном Ньютона.

Ця формула була відома задовго до Ісаака Ньютона. Можливість поширення формули бінома Ньютона на випадок дробових або від’ємних показників [math]n[/math] уперше показана Ісааком Ньютоном, чітко обґрунтована 1826 Нільсом Генріком Абелем.

Література

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Москва : АСТ, 2019. 512 с.

Автор ВУЕ

Д. В. Польовий


Покликання на цю статтю

Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Біноміальний ряд // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біноміальний ряд (дата звернення: 28.10.2021).



Оприлюднено

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено:
08.07.2021

Офіційний телеграм-канал ВУЕОфіційний телеграм-канал ВУЕ