Бінарне відношення
Біна́рне відно́шення — підмножина декартового добутку множин [math]A×B[/math] двох множин [math]A[/math] і [math]B[/math].
Бінарне відношення називають також 2-місним або 2-арним (див. Арність).
Історична довідка
Основи теорії бінарних відношень вперше виклав у серії праць «Про силогізм» (англ. «On the Syllogism») Огастес де Морган у 19 ст. Теорію розвинули Б. Рассел і А. Н. Вайтхед у тритомній роботі «Математичні основи» (англ. Principia Mathematica).
Характеристика
Для бінарного відношення [math]ρ[/math] множина [math]A[/math] називається доменом, а множина [math]B[/math] — ко-доменом. Якщо множини [math]A[/math] і [math]B[/math] співпадають, то кажуть, що бінарне відношення задано на множині [math]A[/math].
Якщо [math]ρ⊂A×B[/math] деяке бінарне відношення, то замість запису [math](a,b)∈ρ[/math] застосовують [math]aρb[/math].
Приклади
Найпростіше бінарне відношення [math]≥[/math] або [math]≤[/math]. У цьому випадку [math]A=B=R[/math], де [math]R[/math] — множина чисел дійсних, а [math]ρ=\left\{ (x,y)∈R^2:x≤y\right\}[/math].
На множині чисел натуральних [math]A=B=N[/math] можна задати відношення «ділиться на». Тоді будемо мати [math]4ρ2[/math], [math]9ρ3[/math] і т. д. Бінарне відношення [math]ρ[/math] у вигляді підмножини [math]N^2[/math] матиме вигляд:
[math]ρ=\left\{(1,1),(2,1),(3,1),…,(2,2),(4,2),(6,2),…,(3,3),(6,3),…\right\}[/math].
Бінарне відношення, задане на множині [math]M[/math], є відношенням еквівалентності, якщо воно:
- рефлексивне, коли [math]aρa[/math], для довільного [math]a∈M[/math];
- симетричне, тобто з [math]aρb[/math] випливає [math]bρa[/math], для довільних [math]a,b∈M[/math];
- транзитивне, якщо [math]aρb[/math] та [math]bρc[/math], то [math]aρc[/math], для довільних [math]a,b,c∈M[/math].
Відношення еквівалентності забезпечує розбиття будь-якої множини (на якій воно задано) на неперетинні класи еквівалентності. Множину класів еквівалентності називають фактор-множиною відносно [math]ρ[/math]. Якщо [math]ρ[/math] відношення еквівалентності на [math]M[/math], то фактор-множину позначають [math]M/ρ[/math].
Іще одним прикладом бінарних відношень є функції. Так, бінарне відношення [math]ρ[/math] між множинами [math]A[/math] і [math]B[/math] називається функцією, якщо кожному значенню [math]x[/math], що входить у [math]ρ[/math], відповідає єдине значення [math]y∈B[/math] таке, що [math]xρy[/math], або якщо [math]xρy[/math] та [math]xρz[/math] то [math]y=z[/math].
Застосування
Бінарні відношення узагальнюють такі відношення як [math]≤[/math], [math]≥[/math], «ділиться на», конгруентність й інші. Застосовують у логіці математичній та алгебрі. У математиці особливу роль відіграють відношення еквівалентності.
Література
Whitehead A., Russel B. Principia Mathematica : in 3 vol. Cambridge : Cambridge University Press, 1910–1913.
Morgan A. De. On the Syllogism / Ed. by P. Heath. London : Routledge, 2023. 390 p.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Голомозий В. В. Бінарне відношення // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бінарне відношення (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 12.12.2024
