Бінарна операція

Біна́рна операція, двомісна операція — закон, який двом елементам певної множини (аргументам, або операндам) ставить у відповідність третій елемент (результат операції).

Найвідомішими та найдавнішими бінарними операціями є основні арифметичні дії (додавання, віднімання, множення та ділення).

Характеристика

Будь-яке відображення f: Х × Х → Х називається бінарною операцією на множині Х.

Для бінарних операцій найчастіше використовують запис вигляду a ○ b (наприклад, a + b, a ⋅ b). У певних окремих випадках елементи пишуть підряд без інфікса ab.

Наприклад: 8 + 20 = 28, 8 ⋅ 20 = 160, 2 ⋅ а = 2а.

Крім того, можливий запис операції у функціональній формі: f (a, b).

Наприклад: найбільший спільний дільник — HCД (a,b): найбільше натуральне число, на яке без остачі діляться a та b; найменше спільне кратне НСК (a, b): найменше натуральне число, яке без остачі ділиться на a та b :

НСД (8,20) = 4, НСК (8,20) = 40.

Типи бінарних операцій

Бінарна операція називається:

• комутативною, якщо a ○ b = b ○ a для будь-яких a,b з множини Х;
• асоціативною, якщо (a ○ b) ○ c = a ○ (b ○ c) для будь-яких a,b,c з множини Х;
• ідемпотентною, якщо a ○ a = a для будь-якого a з множини Х.

Операції додавання та множення чисел є комутативними та асоціативними:

а + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

а ⋅ b = b ⋅ а, (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c),

але не є ідемпотентними: а + a = a в загальному випадку не виконується, а справедливо лише коли а = 0 , а добуток а ⋅ а = а лише коли а = 1 .

Прикладом некомутативної операції є віднімання: a - b ≠ b - a.

Якщо розглядати довільні множини, операції об’єднання та перерізу є комутативними, асоціативними та ідемпотентними:

a ∪ b = b ∪ a, (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c), a ∪ a = a,

a ∩ b = b ∩ a, (a ∩ b) ∩ c = a ∩ (b ∩ c), a ∩ a = a.

Нульовий та одиничний елементи

Елемент a₀, для якого виконується рівність a ○ a₀ = a₀ ○ a = 0, називається нульовим елементом відносно даної операції.

Елемент a₁, для якого виконується a ○ a₁ = a₁ ○ a = a, називається нейтральним, або одиничним елементом відносно даної операції.

На множині дійсних чисел 0 є нульовим, а 1 — нейтральним елементом відносно операції множення: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0, a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.

При цьому число 0 є нейтральним елементом відносно операції додавання чисел: a + 0 = 0 + a = a.

У теорії множин порожня множина ∅ є нульовим, а універсальна множина U — нейтральним елементом відносно операції перерізу:

a ∩ ∅ = ∅ ∩ a = ∅, a ∩ U = U ∩ a = a,

і навпаки: універсальна множина U є нульовим, а порожня множина ∅ — нейтральним елементом відносно операції об’єднання:

a ∪ U = U ∪ a = U, a ∪ ∅ = ∅ ∪ a = a.

У теорії ймовірностей неможлива подія — нульовий, а достовірна — нейтральний елемент відносно операції множення ймовірностей і навпаки: достовірна подія — нульовий, а неможлива — нейтральний елемент відносно операції додавання ймовірностей.

Фіксовані елементи (наприклад 0 або 1) деякої множини називають ще нульарними операціями.

Література

1. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Москва : Мир, 1970. 416 с.
2. Шенфилд Дж. Математическая логика и основания математики / Пер. с англ. Москва : Наука, 1975. 265 с.
3. Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. Boca Raton : CRC Press ; Taylor & Francis Group, 2015. 513 p.
4. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Ведение в математическую логику. Москва : Ленанд, 2016. 240 с.

Автор ВУЕ

А. Ю. Андрейцев

Покликання на цю статтю: Андрейцев А. Ю. Бінарна операція // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бінарна операція (дата звернення: 10.10.2026).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 09.04.2021