Алгебраїчна геометрія

Алгебраї́чна геоме́трія — розділ математики, що вивчає будову алгебраїчних многовидів та узагальнення.

Перший систематичний підхід до вивчення геометричних об’єктів алгебраїчними методами, ймовірно, запровадив Р. Декарт у трактаті «Міркування про метод», хоча приклади такого вивчення є й у працях Менехма (бл. 380 до н. е. — бл. 320 до н. е.), Архімеда, Аполлонія їз Перги, Омара Хайяма, Ф. Вієта, П. Ферма та ін.

Як окремий розділ математики алгебраїчну геометрію сформовано в 19 ст. під впливом праць Б. Рімана, А. Келі, Ф. Кляйна (1849–1925; Німеччина) та ін. Рімана — Роха теорема стала найважливішим інструментом у вивченні алгебраїчних кривих. Остаточно як самостійний розділ математики алгебраїчну геометрію виокремлено в доробку італійської школи: Л. Кремони (1830–1903), Ф. Енрікеса (1871– 1946), Ф. Севері (1879–1961). У їхніх працях уведено біраціональні перетворення алгебраїчних многовидів і закладено основи біраціональної класифікації алгебраїчних поверхонь.

У 20 ст. відбулася істотна перебудова алгебраїчної геометрії. У працях О. Зариського (1899–1986; Росія, США), А. Вейля, Е. Нетер та ін. засади алгебраїчної геометрії обґрунтовано на основі комутативної алгебри. Зокрема, О. Зариський довів існування неособливої біраціональної моделі у кожної алгебраїчної поверхні. А. Вейль у книзі «Основи алгебраїчної геометрії» істотно розширив поняття алгебраїчного многовиду над довільним полем і застосував розроблену техніку для побудови якобіана довільної кривої. Завдяки працям Ж.-П. Серра та А. Гротендіка, основою алгебраїчної геометрії стала теорія пучків та мова схем, які є далекосяжним узагальненням алгебраїчних многовидів.

Суттєву роль у розвитку алгебраїчної геометрії відіграли праці І. Шафаревича, Р. Хартсхорна (нар. 1938, США), Д. Мамфорда, Ю. Маніна, П. Деліня.

В Україні проблемам арифметичної алгебраїчної геометрії присвячено праці О. Введенського та В. Андрiйчука (1948–2012), теорії особливостей — дослідження Ю. Дрозда (нар. 1944).

Алгебраїчна геометрія складається з розділів:

«класична» алгебраїчна геометрія (вивчає алгебраїчні многовиди над алгебраїчно замкненими полями, зокрема, над полем комплексних чисел);
«арифметична» алгебраїчна геометрія (вивчає алгебраїчні многовиди над полями алгебраїчних чисел та їхніми аналогами);
«дійсна» алгебраїчна геометрія (вивчає алгебраїчні многовиди над полем дійсних чисел);
теорія особливостей (вивчає особливі точки алгебраїчних многовидів та способи їхнього біраціонального розв’язування);
обчислювальна алгебраїчна геометрія (займається побудовою ефективних алгоритмів для дослідження конкретних многовидів та їх комп’ютерною реалізацією).

Методи алгебраїчної геометрії відіграють суттєву роль у багатьох розділах математики і теоретичної фізики: теорії струн (напрям теоретичної фізики, що вивчає динаміку взаємодії не точкових частинок, а одновимірних протяжних об’єктів, т. з. квантових струн), теорії солітонів, криптографії тощо. Арифметична теорія еліптичних кривих стала основою доведення Ферма великої теореми.

Література

Grothendieck A. Publications mathématiques de l’I.H.É.S : en 4 t. Paris, 1960. T. 1: Éléments de géométrie algébrique: Le langage des schémas.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / Пер. с англ. Москва, 1981.
Дрозд Ю. А. Вступ до алгебраїчної геометрії. Львів, 2004.
Харрис Дж. Алгебраическая геометрия / Пер. с англ. Москва, 2005.
Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. 4-е изд. Москва, 2018. \

Автор ВУЕ

Ю. А. Дрозд

Покликання на цю статтю: Дрозд Ю. А. Алгебраїчна геометрія // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Алгебраїчна геометрія (дата звернення: 10.10.2026).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 28.07.2022

[[Категорія:]]