Біфуркацій математична теорія
Бiфурка́цiй математи́чна тео́рiя — галузь сучасної математики, присвячена виявленню, дослiдженню та описанню унiверсальних типiв якiсних переходiв у динамiчних системах, а також застосуванню математичних методiв для описання бiфуркацiйних сценарiїв у природничих процесах та явищах при варiацiї зовнiшнiх параметрiв.
Однiєю з основних цiлей теорiї бiфуркацiй є створення карт простору параметрiв, або бiфуркацiйних дiаграм, що розбивають простiр параметрiв µ на областi топологiчної еквiвалентностi системи. Бiфуркацiї вiдбуваються у точках (або на лiнiях чи поверхнях при m ≥2), якi не лежать всерединi однiєї з цих областей. У межах вказаних областей динамiчнi системи є структурно стiйкими, тобто такими, що зберiгають свою якiсну структуру за малих збурень.
Найтиповішими та добре вивченими є такi бiфуркацiї: сiдло-вузлова, транскритична, вилкоподiбна, Гопфа, гомоклiнiчна, складки граничних циклiв, сiдло-вузлова граничного циклу, сiдло-сiдло зв’язна (гетероклiнiчна), подвоєння перiоду, народження тору (Неймарка — Сакера), катастрофи блакитного неба, сiдло-фокусу Шильнiкова, клиноподiбна, Такенса — Богданова, Баутiна, сiдло-вузлова петлi сепаратриси, гомоклiнiчних дотикiв многовидiв, руйнування симетрiй. Під час дослiдження виникнення хаотичних атракторiв здебiльшого спостерiгаються нескiнченнi каскади бiфуркацiй рiзних типiв. Бiфуркацiї бувають локальними та глобальними, мають розмiрностi та корозмiрностi, вiдбуваються у системах з дискретним та неперервним часом, у фазових просторах скiнченних та нескiнченних розмiрностей, а також на многовидах рiзних топологiчних типiв.
Теорiя бiфуркацiй тiсно пов’язана з iншими математичними теорiями: коливань, стiйкостi, усереднень, резонансiв, хаосу, фракталiв, синхронiзацiї, симетрiй, катастроф та iншими. Аналiз бiфуркацiй у динамiчних системах часто припускає застосування методiв топологiї та диференцiальної геометрiї, а також чисельних методiв дослiджень.
Математична теорiя бiфуркацiй широко використовується у всiх природничих та iнженерних науках, а також в економiцi та соцiологiї.
Лiтература
- Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York : Springer, 1983. 453 p.
- Crawford J. D. Introduction to Bifurcation Theory // Reviews of Modern Physics, 1991. № 63. P. 991–1035.
- Glendinning P. Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory of Nonlinear Differential Equations. Cambridge : Cambridge University Press, 1994. 388 p.
- Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York : Springer, 1995. 515 p.
- Wiggins St. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. 2nd ed. New York : Springer, 2003. 843 p.
- Капустян О., Пiчкур В., Собчук В. Теорiя динамiчних систем, Луцк : Вежа-Друк, 2020. 348 с.
- Strogatz St. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 3rd ed. Boca Raton : CRC Press, 2024. 601 p.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Бурилко О. А. Біфуркацій математична теорія // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біфуркацій математична теорія (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: оприлюднено
Оприлюднено: 27.08.2025
