Борелівська сигма-алгебра
Боре́лівська си́гма-а́лгебра, Борелівська σ-алгебра — мінімальна (найменша з можливих) алгебра множин, замкнена щодо операцій зліченого об'єднання, доповнення та зліченого перетину. Названа на честь математика Е. Бореля.
Включає всі відкриті множини топологічного простору. Елементи цієї алгебри мають назву борелівські множини і є простими множинами, як-от інтервали, напівінтервали та їх злічені об'єднання.
Основні властивості сигма-алгебри: містить універсальну множину (якщо сигма-алгебра визначена для множини [math]X[/math], то вона містить саму [math]X[/math]); включає також порожню множину [math]\varnothing[/math]; замкненість відносно доповнення (якщо множина A належить сигма-алгебрі, то й її доповнення [math]X \setminus A[/math] також належатиме їй); замкненість відносно злічених об'єднань (злічене об'єднання будь-якої послідовності множин із сигма-алгебри також є елементом цієї сигма-алгебри); замкненість відносно злічених перетинів (через властивість доповнення, злічений перетин також гарантовано належить сигма-алгебрі); всяка борелівська множина на відрізку є вимірною щодо Лебега міри (зворотне невірно).
Борелівська сигма-алгебра відіграє ключову роль у ймовірностей теорії та математичному аналізі, зокрема в теорії міри та інтегралів.
Література
- Федак І. В. Елементи теорії міри та інтеграла Лебега. Івано-Франківськ : Сімик, 2011. 168 с.
- Павлов О. А., Гавриленко О. В., Рибачук Л. В. Навчальний посібник з дисципліни «Теорія ймовірностей, імовірнісні процеси та математична статистика». Курс лекцій. Київ : Київський політехнічний інститут, 2021. 154 с.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Борелівська сигма-алгебра // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Борелівська сигма-алгебра (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: оприлюднено
Оприлюднено: 02.09.2025
