Бесселя функції

Бе́сселя фу́нкції — спеціальний клас циліндричних функцій, які можуть бути визначені як розв’язки диференціального рівняння Бесселя (1):

[math]x^{ 2 }\dfrac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } + x\dfrac { dy }{ dx } + (x^{ 2 } - p^{ 2 })y = 0[/math],

де [math]p[/math] — порядок функції, а [math]x[/math] — незалежна змінна.

Історична довідка

Уперше розглянуті математиком Д. Бернуллі в роботі про коливання важкого ланцюга (1738). Пізніше математик Л. Ейлер використовував їх при вивченні коливань мембрани (1766).

Названі на честь астронома і математика Ф. В. Бесселя за пропозицією математика О. К. Шлемільха (1823–1901; Німеччина), який 1857 ввів назву «функції Бесселя» і здійснив першу спробу побудувати їхню теорію.

Функція Бесселя першого роду

Оскільки рівняння Бесселя є диференціальним рівнянням другого порядку, то має два лінійно-незалежні розв’язки.

Перший частковий розв’язок рівняння Бесселя:

[math]y_{ 1 } = x^{ p }( 1 - \frac { x^{ 2 } }{ 2(2p + 2) } + \frac { x^{ 4 } }{ 2·4(2p+2)(2p+4) } - \frac { x^{ 6 } }{ 2·4·6(2p+2)(2p+4)(2p+6) } + \dots)[/math],

помножений на деяку сталу, називається функцією Бесселя першого роду [math]p[/math]-го порядку і позначається символом [math]Jp[/math].

Отже: [math]J_{ p }(x) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac { (-1)^{ \nu } }{ \nu!Г(p+\nu+1) }(\frac { x }{ 2 })^{ p+2\nu }[/math], де де Г(z) — гамма-функція Ейлера. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої згасають пропорційно [math]\frac { 1 }{ \sqrt { x } }[/math].

Якщо [math]p[/math] не ціле, то другий частковий розв’язок [math]y_{ 2 }[/math] отримуємо, замінюючи в [math]y_{ 1 }[/math] число [math]p[/math] на [math]– p[/math]. Розв’язок [math]y_{ 2 }[/math] позначається символом [math]J_{-p}[/math] і при не цілих [math]p[/math] загальний розв’язок рівняння Бесселя має вигляд: [math]y=C_1 J_p + C_2 J_{-p}[/math].

Якщо, наприклад, [math]p = \frac { 1 }{ 2 }[/math], то [math]y_{ 1 } = \frac { 1 }{ \sqrt { x } } (x - \frac { x^{ 3 } }{ 3! } + \frac { x^{ 5 } }{ 5! } - \frac { x^{ 7 } }{ 7! } + \dots)[/math]. Цей розв’язок, помножений на сталу [math]\sqrt { 2π }[/math], називається функцією Бесселя [math]J_{\frac { 1 }{ 2 }}[/math] і, отже: [math]J_{\frac { 1 }{ 2 } }(x) = \sqrt { \frac { 2 }{ πx } }sin x[/math]. Аналогічно [math]J_{- \frac { 1 }{ 2 } }(x) = \sqrt { \frac { 2 }{ πx } }cos x[/math]. Загальний інтеграл рівняння (1) при [math]p= \frac { 1 }{ 2 }[/math] має вигляд:

[math]y = C_{ 1 } J_{\frac { 1 }{ 2 } }(x) + C_{ 2 } J_{-\frac { 1 }{ 2 } }(x)[/math].

Функція Бесселя другого роду

При цілому додатному [math]p=n[/math] функція Бесселя [math]J_{ p } = J_{ n }(x) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac { (-1)^{ \nu } }{ \nu!(n+\nu)! }(\frac { x }{ 2 })^{ n + 2\nu }[/math]. Другий частковий розв’язок у цьому випадку потрібно шукати у вигляді [math] K_{ n }(X) = J_{ n }(x)lnx + x^{ -n }\sum_{k=0}^\infty b_{ k } x^{ k }[/math], де коефіцієнти [math]b_{ k }[/math] визначаються підстановкою розв’язку в рівняння (1).

Функція [math]K_{ n }(x)[/math] із визначеними таким чином коефіцієнтами, помножена на деяку сталу, називається функцією Бесселя другого роду [math]n[/math]-го порядку. Загальний інтеграл рівняння (1) у цьому випадку матиме вигляд:

[math]y = C_{ 1 }J_{ n }(x) + C_{ 2 }K_{ n }(x)[/math].

Оскільки [math]\lim_{x \to 0}K_{ n }(x) = \infty[/math], то для отримання скінченних розв’язків при [math]x=0[/math] потрібно вибирати [math]C_{ 2 } = 0[/math].

Для цілих значень [math]p[/math] можна надати інше визначення функції Бесселя, використовуючи інтегральне зображення:

[math]J_{ n }(x) = \frac { 1 }{ π }\int _{ 0 }^{ π }{ cos(nt - x sin t) }dt[/math] або [math] J_{ n }(x) = \frac { 1 }{ 2π }\int _{ -π }^{ π }{ e^{ i(nt-x sin t) } }dt[/math].

У такому вигляді ці функції розглядав Бессель, досліджуючи за його допомогою деякі їхні властивості.

Застосування функцій Бесселя

Застосовуються у розв’язуванні багатьох задач математичної фізики, зокрема: поширення електромагнітних хвиль у циліндричному хвилеводі; теплопровідності у циліндричних об’єктах; форми коливання тонкої круглої мембрани; швидкості елементарних частинок у заповненому рідиною циліндрі, що обертається навколо своєї осі; під час обробки сигналів тощо.

Література

Bowman Fr. Introduction to Bessel Functions. New York : Dover, 2018. 134 p.
Apelblat A. Bessel and Related Functions: Mathematical Operations with Respect to the Order : in 2 vol. Berlin : De Gruyter, 2020.

Автор ВУЕ

І. Б. Ковальська

Покликання на цю статтю: Ковальська І. Б. Бесселя функції // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бесселя функції (дата звернення: 10.10.2026).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 15.04.2024