Бернуллі теорема
Берну́ллі теоре́ма — перша з граничних теорем теорії ймовірностей, є напростішою формою Бернуллі закону великих чисел.
Бернуллі теорему опубліковано в книзі «Мистецтво припущень» (лат. «Ars conjectandi»; 1713; рос. переклад — 1913; 1986) Я. Бернуллі (див. Бернуллі). Бернуллі теорема стверджує, що в послідовності незалежних випробувань, в яких стала ймовірність деякої випадкової події, частота того, що ця подія відбудеться, мало відрізняється від її ймовірності. Тобто, якщо при кожному з [math]n[/math] незалежних випробувань ймовірність деякої випадкової події дорівнює [math]p[/math], то ймовірність того, що частота [math]μ_n/n[/math] настання [math]μ_n[/math] цієї події задовольняє нерівності: [math]|μ_n/n-p|\lt ε[/math] ([math]ε \gt 0[/math] — довільне), близьке до одиниці при достатньо великому числі [math]n[/math] випробувань. Ця формула є першим в історії варіантом закону великих чисел; її вважають початком теорії ймовірностей як галузі математичної науки.
Перше доведення Бернуллі теореми, яке дав Я. Бернуллі, засновано на вивченні характеру спаду ймовірностей в біномінальному розподілі, вимагало складних розрахунків. У середині 19 ст. П. Чебишев знайшов коротке її доведення, базуючись на окремому випадку Чебишева нерівності:
[math]P[|μ_n/n-p|\lt ε]\gt 1-p(1-p)/nε^2[/math].
Бернуллі теорема уможливлює оцінку кількості незалежних випробувань [math]n[/math] за певних умов їхнього проведення.
Узагальненням Бернуллі теореми на випадок, коли випробування відбуваються за неоднакових умов, є Пуассона теорема: за необмеженого збільшення кількості незалежних випробувань у змінних умовах частота події збігається за ймовірністю до арифметичного середнього її ймовірностей при цих випробуваннях. Доведення теореми Пуассона випливає з узагальненої теореми Чебишева (аналогічно як доведення Бернуллі теореми випливає з теореми Чебишева).
Я. Бернуллі розв’язав деякі задачі комбінаторики і, у зв’язку з вивченням суми виду [math]1m + 2m + … + nm[/math], відкрив числа, які згодом названо бернуллієвими. У цій праці він довів так звану Бернуллі теорему — окремий випадок закону великих чисел, що має важливе значення в теорії ймовірностей та її застосуваннях у статистиці. Завдяки цьому теорія ймовірностей, яка раніше стосувалася лише ігор азартних, набула важливого значення в практичній діяльності людей.
Література
- Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров ; Ред. кол. : С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков и др. Москва : Советская энциклопедия, 1988. 847 с.
- Тичинська Л. М., Черепащук А. А. Теорія ймовірностей. Ч. 1. Історичні екскурси та основні теоретичні відомості. Вінниця : ВНТУ, 2010. 112 с.
Автор
Покликання на цю статтю: Бернуллі теорема // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бернуллі теорема (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 10.06.2024
