Бернуллі закон великих чисел

Берну́ллі зако́н вели́ких чи́сел — наукове узагальнення розподілу дискретної випадкової величини, що приймає два значення:
1 (з ймовірністю [math]p[/math]) та 0 (із ймовірністю [math]q=1-p[/math]).

Закон названо на честь математика Я. Бернуллі (див. Бернуллі).

Випадкова величина розподілена за Бернуллі законом із параметром [math]p[/math] є індикатором настання випадкової події [math]А[/math], якщо ймовірність настання цієї події [math]P(A)=p[/math].

Позначення [math]ξ[/math]~[math]B(p)[/math] означає, що випадкова величина [math]ξ[/math] розподілена за Бернуллі законом із параметром розподілу [math]p[/math].

Функція розподілу Бернуллі має вигляд [math]F_ξ(x) = \left\{ \begin{align} 0, якщо \quad x ≤ 0; \\ q, якщо \quad 0 \lt x ≤ 1; \\ 1, якщо \quad x \gt 1. \end{align} \right\}[/math].

Основні числові характеристики випадкової величини, що розподілена за Бернуллі законом:

математичне очікування [math]E(X)=p[/math];
дисперсія [math]D(X)=pq[/math];
асиметрії коефіцієнт [math]As=\frac { q-p }{ \sqrt { pq } } [/math];
ексцес [math]Es=\frac { 1-6pq }{ pq }[/math];
мода [math]Mo=\left\{ \begin{align} 0, якщо \quad q \gt p; \\ 0,1, якщо \quad q = p; \\ 1, якщо \quad p\gt q. \end{align} \right\}[/math].

Медіану розподілу Бернуллі не визначено.

Характеристична функція розподілу Бернуллі: [math]φ(t)=1+p(e^{it} - 1)[/math].

Розподіл Бернуллі відіграє фундаментальну роль у ймовірностей теорії та статистиці математичній, оскільки є моделлю для будь-якого випадкового експерименту, наслідки якого належать двом взаємовиключним класам.

Література

Довідник з теорії ймовірностей та математичної статистики / За редакції В. С. Королюка. Київ : Наукова думка, 1978. 582 с.
Тичинська Л. М., Черепащук А. А. Теорія ймовірностей. Ч. 1. Історичні екскурси та основні теоретичні відомості. Вінниця : ВНТУ, 2010. 112 с.
Огірко О. І., Галайко Н. В. Теорія ймовірностей та математична статистика. Львів : Львівський державний університет внутрішніх справ, 2017. 292 с.

Автор

Редакція_ВУЕ

Покликання на цю статтю: Бернуллі закон великих чисел // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бернуллі закон великих чисел (дата звернення: 10.10.2026).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 05.06.2024