Бернуллі лемніската
Берну́ллі лемніска́та (лат. lemniscatus — прикрашений стрічками, лат. lemniscus — стрічка, якою прикрашали вінки, трофеї, від грец. λημνίσϰος — вовняна стрічка, пов’язка) — плоска крива алгебраїчна; визначається як геометричне місце точок, добуток відстаней від кожної з яких до двох заданих точок (фокусів) незмінний і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.
У Греції Давній лемніскатою називали стрічку, якою закріплювали вінок на голові переможця спорт. змагань. 1694 Я. Бернуллі вперше використав криву (називаючи її лат. «lemniscus») та її рівняння у своїх дослідженнях теорії припливів та відпливів. Квадратуру лемніскати вперше 1718 описав математик Дж. К. Фаньяно (1682–1766; Італія), що привернуло увагу науковців до кривої і вивчення інтегралів еліптичних. За формою Б. л. нагадує вісімку або символ нескінченності. Точку, в якій крива перетинає саму себе, називають вузловою або подвійною. Б. л. є частковим випадком овалу Кассіні при фокусн. відстані рівній [math]2a[/math] (де a — добуток відстаней від точки кривої до фокусів). Якщо відстань між розташов. на осі [math]ОХ[/math] фокусами дорівнює [math]2c[/math] (де с — фокусна відстань) і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то Б. л. задається наступними рівняннями:
- у прямокут. декартовій системі координат у неяв. вигляді [math](x^{ 2 } + y^{ 2 })^{ 2 } = 2c^{ 2 }(x^{ 2 } - y^{ 2 })[/math];
- у поляр. системі координат [math]ρ^{ 2 } = 2c^{ 2 }cos2φ[/math]
Б. л. є кривою четверт. порядку з двома осями симетрії: прямою, на якій лежать фокуси (вісь ОХ), і перпендикуляром до неї, що проходить через вузл. точку. Дотичні у вузл. точці утворюють із віссю симетрії ОХ кути [math]\pm \frac { \pi }{ 4 }[/math]. Для будь-якої точки Е Б. л. виконується рівність ЕP = PO, де ЕP — бісектриса кута АЕВ. Крива має два максимуми і два мінімуми:
Радіус кривини Б. л.:
Є кілька методів побудови Б. л. За способом трьох відрізків на площині обирають дві точки [math]А[/math] і [math]В[/math] — фокуси. Далі збирають спец. конструкцію з трьох послідовно закріпл. на шарнірах відрізків, щоб отрим. ламана могла вільно згинатися у двох місцях (точки [math]C[/math] і [math]D[/math]) із дотриманням пропорцій відрізків, описаних наступ. рівняннями:
.
Кінці лінії закріплюються у фокусах. За умови непарал. обертання відрізків навколо фокусів середина центр. відрізка (точка [math]Е[/math]) описує Б. л. Спосіб шотланд. математика К. Маклорена (1698–1746; Велика Британія) передбачає побудову кола радіусом [math]\frac { c }{ \sqrt { 2 } }[/math] із центром в одному з фокусів Б. л. Із сер. [math]O[/math] фокусн. відрізка проводиться довільна січна [math]OKS[/math] ([math]K[/math] і [math]S[/math] — точки перетину з поверхнею), на ній в обидві сторони відкладають відрізки [math]OM_{ 1 }[/math] та [math]OM_{ 2 }[/math], що дорівнюють хорді [math]KS[/math]. Точки [math]M_{ 1 }[/math], [math]M_{ 2 }[/math] лежать на різних петлях Б. л.
Література
- Борисенко В Д., Устенко С. А., Устенко І. В. Модифікація лемніскати Бернуллі та її практичне застосування // Вчені записки Таврійського нац. ун-ту ім. В. І. Вернадського.
- Сер.: Тех. науки. 2020. Т. 31 (70). Ч. 1. № 3; Khan Q., Arif M., Ahmad B. et al. On Analytic Multivalent Functions Associated with Lemniscate of Bernoulli // AIMS Mathematics. 2020. № 5 (3); Mashadi M., Deswita L., Suprika G. Alternative Constructs of the Lemniscate of Bernoulli // Journal of Physics: Conference Series. 2020. Vol. 1554.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Крижановська Т. В. Бернуллі лемніската // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бернуллі лемніската (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 18.07.2023
