Багатогранник

Тетраедр (чотиригранник)
Куб (шестигранник)
Октаедр (восьмигранник)
Додекаедр (дванадцятигранник)
Ікосаедр (двадцятигранник)

Багатогра́нник, многогранник — геометричне тіло, частина тривимірного Евклідова простору, обмежена скінченним числом багатокутників, які є гранями багатогранника, їхні сторони — ребрами, а їхні вершини — вершинами багатогранника.

Приклади багатогранників: призма,піраміда.

Різновиди

Види багатогранників:

  • опуклий;
  • правильний.

Опуклим називають багатогранник, розташований з одного боку від площини будь-якої з його граней.

Правильним є багатогранник, що задовольняє умовам:

  • він опуклий;
  • усі грані є рівними правильними багатокутниками;
  • у кожній його вершині збігається однакова кількість граней;
  • усі вершини рівновіддалені від певної точки, яку називають центром.

Опукле тіло, обмежене двома площинами у просторі, є прикладом нескінченного опуклого багатогранника.

Багатогранник із [math]n[/math] гранями називають [math]n[/math]-гранником.

Евклід Александрійський довів існування тільки п’яти видів правильних багатогранників: тетраедра (чотиригранника); куба (шестигранника); октаедра (восьмигранника); додекаедра (дванадцятигранника); ікосаедра (двадцятигранника).

Властивості

Властивості правильних багатогранників:

  • майже усі (за винятком тетраедра) мають центр симетрії;
  • навколо кожного можна описати сферу;
  • у них можна вписати сферу.

Якщо центри граней правильного багатогранника прийняти за вершини нового багатогранника, отримаємо правильний багатогранник, двоїстий (дуальний) початковому. Правильний тетраедр двоїстий самому собі, куб двоїстий правильному октаедру, правильний додекаедр двоїстий правильному ікосаедру. У двоїстих правильних багатогранниках число вершин одного з них дорівнює числу граней другого й навпаки. Центри граней правильного багатогранника є вершинами двоїстого йому правильного багатогранника.

Для опуклого багатогранника справджується теорема Ейлера, що пов’язує число вершин (В), граней (Г) і ребер (Р) співвідношенням: В + Г = Р + 2. Об’єднання багатогранників називають поліедром.

Література

  1. Бевз Г. П., Боголюбов О. М., Фільчаков П. Ф. та ін. Довідник з елементарної математики / Ред. П. Ф. Фільчаков. 2-ге вид., перероб. і допов. Київ : Наукова думка, 1975. 656 с.
  2. Багатогранники // Шмиг Р. А., Боярчук В. М., Добрянський І. М. та ін. Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури. Львів : [б. в.], 2010. С. 26.
  3. Richeson D. Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton : Princeton University Press, 2019. 336 p.

Автор ВУЕ

Д. В. Польовий


Покликання на цю статтю

Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Багатогранник // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Багатогранник (дата звернення: 4.12.2021).


Оприлюднено

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено:
06.05.2021


Офіційний телеграм-канал ВУЕОфіційний телеграм-канал ВУЕ