Біфуркація (математика)

Біфурка́ція (від лат. bifurcus — роздвоєний, з bi…, від bis — двічі та furca — двозубі вила) — у математиці — суттєва якісна зміна у динамічній системі за умови нескінченно малої зміни її параметрів. Термін був запропонований математиком Ж. А. Пуанкаре наприкiнці 19 ст. Розглянемо автономну динамічну систему звичайних диференцiальних рiвнянь (динамiчну систему з неперервним часом)

[math]\displaystyle\frac{dx}{dt} = f(x,\mu),\quad x\in\mathbb{R}^n,\quad \mu\in\mathbb{R}^m[/math]

[math](1)[/math]

або систему рiзницевих рiвнянь (систему з дискретним часом)

[math]x_{i+1} = f(x_i, \mu),\quad x_i\in\mathbb{R}^n,\quad \mu\in\mathbb{R}^m[/math]

[math](2)[/math]

де [math]f[/math] є гладкою функцiєю своїх змiнних величин та параметрiв, розмiрностi [math]n, m \in \mathbb{N}[/math], дискретні моменти часу [math]i \in \mathbb{Z}[/math]. Векторний параметр [math]\mu[/math] є зовнiшнiм вiдносно динамiчної системи, тобто вiн нiяк не залежить вiд її змiнних [math]x = x(t)[/math], отже, можна вважати, що розглядаються окремі динамічні системи за рiзних значень [math]\mu[/math]. Біфуркація вiдбувається у цих системах в момент [math]\mu = \mu_0[/math], якщо iснують значення параметра [math]\mu = \mu_1[/math], як завгодно близькi до [math]\mu_0[/math], з динамiкою, топологiчно нееквiвалентною динамiцi за [math]\mu_0[/math] (тобто не iснує гомеоморфізму мiж двома випадками систем за [math]\mu = \mu_0[/math] та [math]\mu = \mu_1[/math]).

Термiн біфуркація пов’язаний з тим, що система має два якiсно вiдмiнні динамiчні стани до та пiсля критичного (бiфуркаційного) значення параметра. Структура фазового простору (простору станiв) зазнає суттєвої якiсної перебудови у момент біфуркації та вiдрiзняється також вiд обох станiв до та пiсля. Зокрема, внаслiдок біфуркації можуть виникати чи зникати положення рiвноваги, перiодичні орбiти, гомо/гетероклiн. цикли, квазiперiодичні та хаотичні траєкторiї, а також може змiнюватися структура та стiйкiсть згаданих динамічних об’єктiв. Крiм звичайних диференціальних та рiзницевих рiвнянь, біфуркації також дослiджуються у динамiчних системах iнших типiв (рiвняння з частинними похiдними, з запiзненням, з iмпульсною дiєю, iнтегральні, iнтегро-диференціальні, стохастично-диференціальні, з шумом, функціонально-диференціальні, диференціальні включення, Маркова процеси та iнші гiбриднi типи систем, що включають похiднi, інтеграли та дискретні за часом спiввiдношення мiж змiнними).

Лiтература

Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York : Springer, 1983. 453 p.
Crawford J. D. Introduction to bifurcation theory // Reviews of Modern Physics. 1991. Vol 63. No 4. P. 991–1035.
Glendinning P. Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory of Nonlinear Differential Equations. Cambridge : Cambridge University Press, 1994. 388 p.
Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York : Springer, 1995. 515 p.
Wiggins S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer, 2003. 330 p.
Капустян О., Пiчкур В., Собчук В. Теорiя динамiчних систем, Луцьк : Вежа-Друк, 2020. 348 с.
Strogatz St. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 3rd ed. Boca Raton : CRC Press, 2024. 601 p.

Автор ВУЕ

О. А. Бурилко

Покликання на цю статтю: Бурилко О. А. Біфуркація (математика) // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біфуркація (математика) (дата звернення: 10.10.2026).

Статус гасла: оприлюднено
Оприлюднено: 26.08.2025