Біноміальний розподіл
Біноміа́льний розпо́діл — один із основних законів розподілу дискретних випадкових величин, що безпосередньо пов’язаний зі схемою повторних незалежних випробувань (схемою Бернуллі).
Це розподіл кількості появ події в серії [math]nn[/math] повторних незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події («успіху» у випробуванні) стала в межах схеми та дорівнює [math]pp[/math] . Параметр [math]q=1-p[/math] дорівнює ймовірності «невдачі», тобто непояви події в кожному окремому випробуванні послідовності.
Біноміальний розподіл дискретної випадкової величини Х, що набуває цілих значень [math]m = 0,1, ... n m = 0,1, ... n[/math] представлено формулою [math]P = (X = m) = C_{ n }^{ m } p ^{ m } q ^{ n - m } P(X = m) = C_{ n }^{ m } p ^{ m } q ^{ n - m }[/math], де [math]n \geq 0,1 \leq p \leq[/math] — параметри біноміального розподілу, [math]C_{ n }^{ m }[/math] — біноміальний коефіцієнт.
| Математичне очікування, математичне сподівання | [math]M(X) = E(X) = m_{ x } = np[/math] |
| Дисперсія, варіація | [math]D(X) = \sigma^{ 2 }(X) = np(1 - p) = npq[/math] |
| Середнє квадратичне відхилення | [math]\sigma^(X) = \sqrt {np(1 - p)} = \sqrt{npq} [/math] |
| Мода | Якщо число [math](n + 1)p[/math] ціле, то мода приймає два значення [math]Mo = (n + 1)p[/math].
Якщо число (n + 1)p дробове, то [math]Mo = [(n + 1)p][/math], де [math][x][/math] — ціла частина числа (антьє). |
| Медіана | Якщо число [math]np[/math] ціле, то [math]Me = np[/math].
Якщо число [math]np[/math] дробове, то медіана = одному із чисел [math]Me = [np] \pm 1[/math] |
| Асиметрія | [math]\frac { 1 - 2p}{ \sqrt { np(1 - p) } } = \frac {q - p}{ \sqrt { npq } }[/math] |
| Ексцес | [math]\frac { 1 - 6p(1 - p)} { np(1 - p) } = \frac {1 - 6pq}{ npq }[/math] |
Розподіл Бернуллі є частинним випадком біноміального розподілу, із параметром [math]n=1[/math]. Багатовимірним узагальненням біноміального розподілу є поліноміальний розподіл.
Література
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев : Вища школа, 1988. 408 с.
- Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статистика : у 2 ч. Київ : Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана, 2007. 304 с.
- Balakrishnan N., Koutras M., Konstantinos P. Introduction to Probability: Models and Applications. Hoboken : Wiley, 2019. 624 p.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Біноміальний розподіл // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біноміальний розподіл (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: Оприлюднено
