Баєса формула

Ба́єса фо́рмула, теорема Баєса — одна з основних теорем класичної теорії ймовірностей. Названа на честь її автора — математика Т. Баєса.

Описує ймовірність події, спираючись на обставини, що могли б бути пов’язані з цією подією. Дозволяє точніше визначити ймовірність з урахуванням як раніше відомої інформації, так і даних нових спостережень.

Формулювання

Нехай подія [math]A[/math] може настати лише за умови появи однієї з подій [math]{{B}_{1}},{{B}_{2}},\ldots ,{{B}_{n}}[/math], що утворюють повну групу попарно несумісних подій. Такі події називають гіпотезами, оскільки невідомо, яка саме з них відбувається.

Ймовірність [math]p\left( A \right)[/math] визначається за формулою повної ймовірності:[math]~~p\left( A \right)=p\left( {{B}_{1}} \right)p\left( A/{{B}_{1}} \right)+p\left( {{B}_{2}} \right)p\left( A/{{B}_{2}} \right)+...+p\left( {{B}_{n}} \right)p\left( A/{{B}_{n}} \right)[/math], де [math]p\left( A/{{B}_{i}} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }[/math]— умовні ймовірності події при всіх гіпотезах.

Припустимо, що проведено випробування і в цьому випробуванні подія [math]A[/math] відбулася. При цьому невідомо, яка саме з гіпотез була реалізована. Тоді ймовірність гіпотези [math]{{B}_{i}}[/math] може бути обчислена за формулою Баєса:

[math]p\left( {{B}_{i}}/A \right)=\frac{P\left( {{B}_{i}} \right)P\left( A/{{B}_{i}} \right)}{p\left( {{B}_{1}} \right)p\left( A/{{B}_{1}} \right)+p\left( {{B}_{2}} \right)p\left( A/{{B}_{2}} \right)+...+p\left( {{B}_{n}} \right)p\left( A/{{B}_{n}} \right)}[/math],

де [math]P\left( A \right)~[/math]та[math]~P\left( B \right)[/math] — ймовірності подій [math]A[/math] та [math]B[/math] безвідносно одна до одної, а [math]p\left( A/{{B}_{i}} \right)[/math] — умовна ймовірність події [math]A[/math] за умови істинності гіпотези[math]~{{B}_{i}}[/math].

Доведення

Ймовірність спільної появи двох залежних подій [math]A~[/math]і [math]{{B}_{i}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }[/math] можна записати двома способами за означенням умовної ймовірності:

[math]P\left( A{{B}_{i}} \right)=P\left( A \right)P\left( {{B}_{i}}/A \right)=P\left( {{B}_{i}} \right)P\left( A/{{B}_{i}} \right)[/math], звідки [math]P\left( {{B}_{i}}/A \right)=\frac{P\left( A{{B}_{i}} \right)}{P\left( A \right)}=~\frac{P\left( {{B}_{i}} \right)P\left( A/{{B}_{i}} \right)}{p\left( {{B}_{1}} \right)p\left( A/{{B}_{1}} \right)+p\left( {{B}_{2}} \right)p\left( A/{{B}_{2}} \right)+...+p\left( {{B}_{n}} \right)p\left( A/{{B}_{n}} \right)}[/math].

Приклад

Припустимо, що тест на певний вірус має чутливість 90% та специфічність 90%. Тобто цей тест у 90% випадків правильно визначає наявність вірусу у вражених ним людей (істинно позитивні результати) та в 90% випадків правильно визначає відсутність вірусу у здорових людей (істинно негативні результати). Відповідно у 10% хворих тест не визначає наявності вірусу та у 10% здорових людей він дає хибний позитивний результат. Припустимо, що під час епідемії хворіє в середньому 5% населення міста. Яка ймовірність, що людина, чий тест дав позитивний результат, була насправді хвора?

Позначимо через [math]A[/math] подію, яка полягає в тому, що тест був позитивним (подія вже відбулася), а через [math]{{B}_{1}},{{B}_{2}}[/math] — гіпотези, які полягають в тому, що: [math]{{B}_{1}}[/math] — пацієнт був хворим;[math]~P\left( {{B}_{1}} \right)=0,05[/math]; [math]{{B}_{2}}[/math] — пацієнт був здоровим;[math]~P\left( {{B}_{2}} \right)=1-0,05=0,95[/math].

Умовні ймовірності події [math]A[/math] (позитивний результат тесту) при кожній з гіпотез будуть дорівнювати: [math]P\left( A/{{B}_{1}} \right)=0,9[/math]; [math]P\left( A/{{B}_{2}} \right)=0,1[/math].

За формулою Баєса переоцінимо ймовірність першої гіпотези (пацієнт хворий): [math]P\left( {{B}_{1}}/A \right)=\frac{P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( A/{{B}_{1}} \right)}{p\left( {{B}_{1}} \right)p\left( A/{{B}_{1}} \right)+p\left( {{B}_{2}} \right)p\left( A/{{B}_{2}} \right)}=\frac{0,05·0,9}{0,05·0,9+0,95·0,1}\approx 0,32.[/math]

Як бачимо, попри високу результативність тесту, ймовірність, що людина, яка отримала позитивний результат, насправді хвора, не така висока. Це пов’язано з тим, що кількість здорових людей у даному прикладі набагато більше за кількість хворих, отже і кількість хибних позитивних результатів буде перевищувати кількість істинних позитивних результатів. Тому і частина хворих людей серед тих, хто отримав позитивний результат, невелика. Можна зробити висновок, що обидва параметри (чутливість і специфічність) мають суттєве значення, причому специфічність в умовах даної задачі важливіша, оскільки стосується більшої частини населення (95%).

Інтерпретації

Формула Баєса дозволяє «переставити причину і наслідок»: з відомого факту події обчислити ймовірність того, що вона була викликана вказаною причиною. Але загальна інтерпретація теореми Баєса залежить від інтерпретації ймовірності, на яку в ній спираються.

Виокремлюють дві основні інтерпретації ймовірності.

За першою Баєсова ймовірність обчислюється як міра переконання в справедливості твердження [math]A[/math]. Її можна розглядати як підрозділ логіки висловлювань, що дає можливість працювати з гіпотезами, тобто твердженнями, чиї істинність та хибність досліджуються. Теорема Баєса в такому разі пов’язує міру впевненості в висловлюванні до та після появи нових фактів.

За другою частотна інтерпретація пов’язує ймовірність події з частотою її появи. Тобто [math]P\left( A \right)[/math] — це та частина з загальної кількості результатів, яка відповідає події [math]A[/math]. Теорема Баєса тоді розглядає всі можливі результати для події [math]A[/math] при всіх гіпотезах і оцінює, яку частину становить сумісна поява події [math]A[/math] з шуканою гіпотезою [math]{{B}_{i}}~[/math]серед усіх можливих результатів випробування.

Література

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статистика : в 2 ч. Київ : Київський національний економічний університет, 2000. Ч. 1. 304 с.
Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases / Ed. by D. Kahneman, P. Slovic, A. Tversky. 27 th ed. Cambridge : Cambridge University Press, 2017. 555 p.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 12-е изд. Москва : Юрайт, 2019. 479 с.