Базис (математика)
Ба́зис (від грец. βάσις — основа) ― мінімальний упорядкований набір елементів деякої множини. Через них за допомогою певних правил може бути виражений будь-який інший елемент цієї множини.
Мінімальність означає, що жоден елемент базису не може бути виражений через інші базисні елементи; впорядкованість ― що має значення порядок, у якому задають базисні елементи.
Найбільш розповсюдженим прикладом є базис векторного простору. Наприклад, у тривимірному Евкліда просторі базисом будуть будь-які три некомпланарні (лежать в одній площині або паралельних площинах) вектори [math]e ⃗_1,e ⃗_2,e ⃗_3[/math]. Задаючи базис таким чином, ми можемо будь-який інший вектор подати як лінійну комбінацію трьох базисних векторів:
Числа [math]x,y,z[/math] називають координатами вектора в базисі.
Кожен вектор однозначно задають його координати (див. Декартова система координат).
Базис є ортогональним, якщо скалярні добутки усіх базисних елементів дорівнюють нулю. Для тривимірного простору це:
,
що еквівалентно перпендикулярності базисних векторів.
Базис називають нормованим, якщо норми усіх базисних елементів дорівнюють одиниці.
У випадку тривимірного простору нормою є довжина вектора. Базисні вектори одиничної довжини називають ортами. Ортогональний нормований базис називають ортонормованим.
У деяких випадках умову мінімальності можна зняти. Наприклад, стандартний базис для булевих функцій не є мінімальним.
Література
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. 7-е изд., стер. Москва : Физматлит, 2004. 224 с.
- Боровик В., Яковець В., Ваврикович Л. Аналітична геометрія. Суми : Університетська книга, 2018. 291 с.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Андрейцев А. Ю. Базис (математика) // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Базис (математика) (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 06.19.2022
