Арифметичний n-вимірний простір
Арифмети́чний [math]n[/math]-вимірни́й про́стір ― множина [math] R^n[/math] впорядкованих послідовностей [math]x_1, x_2, …, x_n[/math], які складаються із дійсних чисел.
Такі послідовності називають також арифметичними чи координатними векторами, а саму множину [math]R^n[/math] ― координатним [math]n[/math]-вимірним простором. Вектори [math]x = (x_1, x_2, …, x_n)[/math] і [math]y = (y_1, y_2, …, y_n)[/math] вважаються рівними, якщо [math]x_1 = y_1, x_2 = y_2, …, x_n = y_n[/math]. Множина [math] R^n[/math] є векторним простором, якщо операції додавання векторів і множення вектора на число задати покоординатно: [math]x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, …, x_n + y_n), λx = (λx_1, λx_2, λx_n)[/math].
Вектор [math]0 = (0, 0, …, 0)[/math] називається нульовим, а вектор [math]–x = (–x_1, –x_2, …, –x_n)[/math] ― протилежним до вектора [math]x = (x_1, x_2, …, x_n).[/math]
Будь-який вектор однозначно представляється у вигляді лінійної комбінації векторів [math]e_1 = (1, 0, …, 0), e_2 = (0, 1, …, 0), e_n = (0, 0, …, 1).[/math]
Базис [math]e_1, e_2, …, e_n[/math] векторного простору [math]R^n[/math] називається стандартним. Лінійне відображення із [math] R^n[/math] в [math]R^m[/math] задається матрицею розміру [math]n×m[/math] з дійсними елементами. Довільний [math]n[/math]-вимірний дійсний векторний простір ізоморфний простору [math]R^n[/math].
Арифметичний [math]n[/math]-вимірний простір є нормованим простором відносно норми [math]||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+⋯+x_n^2}[/math], евклідовим простором відносно скалярного добутку [math] \lt x,y\gt = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i[/math] і топологічним простором, базу якого утворюють відкриті [math]n[/math]-вимірні паралелепіпеди: [math]I = \{a \lt x \lt b\}[/math], де [math]a[/math] і [math]b[/math] – задані вектори (нерівності розглядаються покоординатно).
Арифметичний [math]n[/math]-вимірний простір широко використовується в лінійній алгебрі, геометрії, топології, математичній фізиці, теорії ймовірностей та ін. областях математики, а також у фізиці.
Література
- Замятин А. П., Булатов А. А., Верников Б. М. Алгебра и геометрия. Екатеринбург : Уральский университет, 2001. 458 с.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 8-е изд. Москва : КДУ, 2009. 320 с.
- Кутковецький В. Я. Розпізнавання образів. Миколаїв : Чорноморський національний університет імені Петра Могили, 2017. 420 с.
- Кутковецький В. Я. теорія візуалізації багатовимірних об’єктів аналітичної геометрії // Наукові праці. Педагогіка. 2018. Т. 313. Вип. 301. С. 31–41.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Бондаренко В.М. Арифметичний n-вимірний простір // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Арифметичний n-вимірний простір (дата звернення: 10.10.2026).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 30.07.2021
