Абелева категорія

Александр Гротендік

А́белева катего́рія — адитивна категорія A, в якій кожен морфізм має ядро і коядро, причому кожен мономорфізм є ядром, а кожен епіморфізм є коядром певного морфізму. У такому разі кожен морфізм α : A → B у категорії A розкладається в добуток α′ α″ епіморфізму α^′ : A → C, який називають кообразом морфізму α і мономорфізму α″: C → B, що називають образом морфізму α.

Важливими прикладами абелевої категорії є категорія модулів над деяким кільцем, а також категорія пучків модулів над деяким простором з фіксованим пучком кілець.

Поняття абелевої категорії було впроваджено Д. Буксбаумом 1955 з назвою «точні категорії» та А. Гротендіком у 1957 (який і запровадив термін «Абелева категорія», зважаючи на те, що категорія абелевих груп є такою). Це поняття використане для поєднання різних теорій гомологій і когомологій у єдину теорію похідних функторів у абелевій категорії. А. Ґротендік запропонував також додаткові аксіоми, виконання яких у абелевій категорії забезпечує існування «хорошої» теорії похідних функторів. Це призвело до розуміння категорії Гротендіка як Абелевої категорії A з такими властивостями: для довільної множини об’єктів {A_i} існує їхній добуток і кодобуток; добуток довільної множини епіморфізмів є епіморфізмом, а кодобуток довільної множини мономорфізмів є мономорфізмом; функтор прямої границі за довільною направленою множиною індексів є точним.

На сучасному етапі у категоріях Гротендіка (такими є, наприклад, категорії модулів та пучків) будують здебільшого гомологічну алгебру. В абелевій категорії є поняття точної послідовності морфі змів — це така їх послідовність, в якій образ кожного морфізму збігається з ядром наступного. Відповідно, адитивний функтор F: A → B між абелевою категорією називають точним, якщо він переводить кожну точну послідовність у таку саму. Б. Мітчел довів, що для кожної малої абелевої категорії A (тобто такої, що її об’єкти утворюють множину) існує точний функтор F : A → Mod R, який також є повним, тобто таким, що всі індуковані ним відображення Hom_A (A,B) → Hom_R (FA,FB) є взаємно однозначними. Це дозволяє переносити значну кількість теорем про категорії модулів на довільні абелеві категорії. Важливою перевагою абелевої категорії є те, що значна кількість категорійних конструкцій у застосуванні до абелевої категорії знову дає абелеву категорію. До таких належать насамперед категорії функторів C → A з довільної категорії C до абелевої категорії A.

Абелева категорія та пов’язана гомологічна алгебра мають численні можливості застосування в алгебраїчній геометрії, теорії зображень, топології та ін. розділах сучасної математики.

Література

1. Buchsbaum D. Exact Categories and Duality // Transactions of the American Mathematical Society. 1955. № 1.
2. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М., 1961.
3. Freyd P. Abelian Categories. N. Y., 1964.
4. Mitchell B. Theory of Categories. Boston, 1965.
5. Weibel Ch. An introduction to Homological Algebra. Cambridge, 1994.

Автор ВУЕ

Ю. А. Дрозд

Покликання на цю статтю: Дрозд Ю. А. Абелева категорія // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Абелева категорія (дата звернення: 11.10.2026).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 08.04.2020