Відмінності між версіями «Біном Ньютона»

(Створена сторінка: '''Біно́м Нью́тона''', двочлен Ньютона — формула для розкладу виразу вигляду <math>{\left( {a + b}...)
 
 
(Не показані 3 проміжні версії цього користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Біно́м Нью́тона''', двочлен Ньютона — формула для розкладу виразу вигляду <math>{\left( {a + b} \right)^n}\;</math> в суму [[Одночлени|одночленів]], які є добутками деяких степенів його доданків <math>a</math> <math>\;b</math>  для всіх дійсних чисел відмінних від нуля, і для всіх натуральних показників [[11|степеня]] [[11|n]]:
+
'''Біно́м Нью́тона''', двочлен Ньютона — формула для розкладу виразу вигляду <math>{\left( {a + b} \right)^n}\;</math> в суму [[Одночлен|одночленів]], які є добутками деяких степенів його доданків <math>a</math>,<math>\;b</math>  для всіх дійсних чисел <math>a</math> i <math>b</math>, відмінних від нуля, і для всіх натуральних показників [[Степінь|степеня]] n:
  
 
<math>{\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b +  \cdots  + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} +  \cdots  + C_n^n{b^n},{\rm{\;}}</math>
 
<math>{\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b +  \cdots  + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} +  \cdots  + C_n^n{b^n},{\rm{\;}}</math>
  
 
<math>C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}</math>  ― [[біноміальні коефіцієнти]].
 
<math>C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}</math>  ― [[біноміальні коефіцієнти]].
Якщо у вихідній формулі замінити , то
+
Якщо у вихідній формулі замінити <math>b</math> на <math>-b</math> , то
 
 
 
<math>{\left( {a - b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.</math>
 
<math>{\left( {a - b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.</math>
  
<math>a = b = 1</math>, отримаємо формулу для знайдення суми біноміальних коефіцієнтів:
+
Якщо покласти <math>a = b = 1</math>, отримаємо формулу для знайдення суми біноміальних коефіцієнтів:
  
 
<math>{2^n} = C_n^0 + C_n^1 +  \cdots  + C_n^k +  \cdots  + C_n^n</math>
 
<math>{2^n} = C_n^0 + C_n^1 +  \cdots  + C_n^k +  \cdots  + C_n^n</math>
Рядок 15: Рядок 15:
 
<math>{\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}.</math>
 
<math>{\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}.</math>
  
Формулу бінома названо на честь математика і фізика І. Ньютона.
+
Формулу бінома названо на честь математика і фізика І. [[Ньютон, Ісаак|Ньютона]].
  
 
==Література==
 
==Література==
Рядок 25: Рядок 25:
 
{{Цитування_автор}}
 
{{Цитування_автор}}
 
[[Категорія:Математика]]
 
[[Категорія:Математика]]
 +
[[Категорія:ВУЕ]]
 
[[Категорія:Е-ВУЕ]]
 
[[Категорія:Е-ВУЕ]]
 
[[Категорія:Фізико-математичні науки]]
 
[[Категорія:Фізико-математичні науки]]
{{#related:Біноміальні коефіцієнти}}
 
 
{{#related:Одночлен}}
 
{{#related:Одночлен}}
 
{{#related:Ісаак Ньютон}}
 
{{#related:Ісаак Ньютон}}

Поточна версія на 20:16, 1 вересня 2021

Біно́м Нью́тона, двочлен Ньютона — формула для розкладу виразу вигляду [math]{\left( {a + b} \right)^n}\;[/math] в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків [math]a[/math],[math]\;b[/math] для всіх дійсних чисел [math]a[/math] i [math]b[/math], відмінних від нуля, і для всіх натуральних показників степеня n:

[math]{\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + \cdots + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + \cdots + C_n^n{b^n},{\rm{\;}}[/math]

[math]C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}[/math]біноміальні коефіцієнти. Якщо у вихідній формулі замінити [math]b[/math] на [math]-b[/math] , то

[math]{\left( {a - b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.[/math]

Якщо покласти [math]a = b = 1[/math], отримаємо формулу для знайдення суми біноміальних коефіцієнтів:

[math]{2^n} = C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^k + \cdots + C_n^n[/math]

Приклад: [math]{\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}.[/math]

Формулу бінома названо на честь математика і фізика І. Ньютона.

Література

  1. Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. Москва : Наука, 1977. 80 с.
  2. Оглобліна О. І., Сушко Т. С., Шрамко С. В. Елементи теорії чисел. Суми : Сумський державний університет, 2015. 186 с.
  3. Kohar R. Basic Discrete Mathematics: Logic, Set Theory, & Probability. New Jersey : World Scientific, 2016. 706 p.

Автор ВУЕ

Д. В. Польовий


Покликання на цю статтю

Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Біном Ньютона // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біном Ньютона (дата звернення: 8.12.2021).



Оприлюднено

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено:
22.04.2021

Офіційний телеграм-канал ВУЕОфіційний телеграм-канал ВУЕ