Версія від 21:18, 1 вересня 2021, створена Тетяна Клецька (Обговорити цю сторінку | внесок)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)

Біноміальні коефіцієнти

Біноміа́льні коефіціє́нти ― числові множники доданків у розкладі бінома Ньютона [math](a+b)^n[/math] у степеневий ряд:

[math](a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+C_n^2 a^{n-2} b^2+⋯+C_n^n b^n[/math],

тобто числа [math]C_n^k[/math] (комбінації з [math]n[/math] елементів по [math]k[/math]), які також позначаються символом [math]{k \choose n}[/math].

Для усіх натуральних чисел або рівних нулю чисел [math]n[/math], [math]k[/math]:

[math]C_{n}^{k}=\left\{ \begin{align}&\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\left( n-1 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)}{k!}, \; \; 0≤k≤n, \\ & 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0≤n\lt k,\\ \end{align} \right.[/math]

де [math]k![/math] означає факторіал числа [math]k[/math], тобто [math]k!=1·2·3\ldots k[/math].

Значення біноміальних коефіцієнтів можуть також бути визначені з трикутника Паскаля — нескінченої таблиці, в якій кожне число є сумою двох чисел, що стоять над ним праворуч і ліворуч (якщо числа нема, воно вважається рівним нулю). Кожен рядок визначає коефіцієнти розкладу бінома Ньютона степеню [math]n[/math]:

Й1цвуакпе213.png

Так, для випадку [math]n= 3~[/math] отримаємо: [math]{{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}[/math]. Числа, що складають трикутник Паскаля, виникають природно в алгебрі, комбінаториці, теорії ймовірностей, математичному аналізі, теорії чисел.

Властивості:

  • коефіцієнти, рівновіддалені від кінців розкладу, рівні: [math]C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}[/math];
  • кожен елемент розкладу дорівнює сумі двох коефіцієнтів попереднього рядка, що стоять в трикутнику Паскаля зліва та справа від нього: [math]C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}[/math];
  • сума усіх біноміальних коефіцієнтів дорівнює [math]~{{2}^{n}}[/math]: [math]C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\ldots +C_{n}^{n}={{2}^{n}}[/math].

Література

  1. Єжов І. І., Скороход А. В., Ядренко М. Й. Елементи комбінаторики. Київ : Вища школа, 1972. 84 с.
  2. Оглобліна О. І., Сушко Т. С., Шрамко С. В. Елементи теорії чисел : навчальний посібник. Суми : Сумський державний університет, 2015. 186 с.

Автор ВУЕ

Д. В. Польовий


Покликання на цю статтю

Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Біноміальні коефіцієнти // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біноміальні коефіцієнти (дата звернення: 16.10.2021).


Оприлюднено

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено:
29.04.2021

Офіційний телеграм-канал ВУЕОфіційний телеграм-канал ВУЕ