Відмінності між версіями «Безу теорема»

 
Рядок 34: Рядок 34:
 
{{Цитування_автор}}
 
{{Цитування_автор}}
 
[[Категорія:Математика]]
 
[[Категорія:Математика]]
 +
[[Категорія:ВУЕ]]
 
[[Категорія:Е-ВУЕ]]
 
[[Категорія:Е-ВУЕ]]
 
[[Категорія:Фізико-математичні науки]]
 
[[Категорія:Фізико-математичні науки]]

Поточна версія на 21:13, 1 вересня 2021

Безу́ теоре́ма — твердження про остачу від ділення многочлена на двочлен. Названа на честь математика Етьєна Безу, який 1774 уперше сформулював і довів цю теорему. Теорема Безу та її наслідки лежать в основі методу розкладання многочленів на множники при розв’язуванні рівнянь вищих степенів, а також завдяки теоремі Безу можна знаходити раціональні корені поліноміальних рівнянь із раціональними коефіцієнтами.

Формулювання

Остача від ділення довільного многочлена [math]n[/math]-го степеня [math]P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n[/math] на лінійний двочлен дорівнює значенню многочлена [math]P(x)[/math] в точці [math]x = a[/math], тобто [math]P(a)[/math].

Доведення

Розглянемо [math]P(x)[/math] — многочлен степеня [math]n[/math], який ділиться на двочлен [math](x-a)[/math] з остачею [math]R[/math] ([math]R[/math] не містить [math]x[/math]). [math]Q(x)[/math] — частка від ділення [math]P(x)[/math] на [math](x-a)[/math] є многочленом степеня [math]n – 1[/math].

Тоді:[math]P(x)=(x-a)Q(x) + R[/math].

Підставивши в цю рівність значення [math]x = a[/math], отримуємо [math]P(a)= (a-a)Q(a)+ R = 0·Q(a) + R = R[/math].

У результаті [math]R = P(a)[/math] або остача від ділення многочлена на двочлен [math](x-a)[/math] дорівнює значенню цього многочлена при [math]x = a[/math], що і треба було довести.

Наслідки

Якщо многочлен [math]P(x)[/math] ділиться на [math](x-a)[/math] без остачі, то число [math]a[/math] є коренем многочлена [math]P(x)[/math].

Якщо число [math]a[/math] є коренем многочлена [math]P(x)[/math] , то цей многочлен ділиться на двочлен [math](x-a)[/math] без остачі.

Для того, щоб число [math]a[/math] було коренем многочлена [math]P(x)[/math] необхідно і достатньо, щоб остача від ділення цього многочлена на двочлен [math](x-a)[/math] дорівнювала нулю.

Література

Fulton W. Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry. Versailles : Université de Versailles, 2005. 225 p.

Ясінський В. В. Математика. Київ : Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», 2007. 368 с.

Lynch P. That's Maths. Dublin : Gill Books, 2016. 331 p.


Автор ВУЕ

Д.В.Польовий


Покликання на цю статтю

Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Безу теорема // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Безу теорема (дата звернення: 21.10.2021).



Оприлюднено

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено:
13.08.2021

Офіційний телеграм-канал ВУЕОфіційний телеграм-канал ВУЕ